Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{x}$ et $a_{x + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ et ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ à partir de ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = - \frac{5}{7}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $1$ dans $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ par $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Étape 3.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Étape 3.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$a = 15 \cdot 1$

Étape 3.2.8

Multipliez $15$ par $1$ .

$a = 15$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{8}$ par $- 1$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.4

Élevez $5$ à la puissance $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.5

Élevez $7$ à la puissance $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.1.8

Soustrayez $390625$ de $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- - \frac{5}{7}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Étape 5.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $7$ et $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $12$ à partir de $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $7$ à partir de $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Étape 5.6

Multipliez $15 (\frac{447848}{823543})$ .

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Étape 5.6.1

Associez $15$ et $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Étape 5.6.2

Multipliez $15$ par $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$