Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{{(2 i)}^{3}} = {(e^{i x} + e^{- i x})}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{{(2 i)}^{3}}$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{{(2 i)}^{3}}$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{{(2 i)}^{3}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 i$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{2^{3} i^{3}}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 i^{3}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $i^{2}$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 (- 1 \cdot i)}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{8 \cdot - 1 i}$

Étape 2.1.6

Associez les exposants.

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Étape 2.1.6.1

Factorisez le signe négatif.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- (8 i)}$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- 8 i}$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{- 8 i}$ par le conjugué de $- 8 i$ pour rendre le dénominateur réel.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1}{- 8 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 2.3

Multipliez.

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Étape 2.3.1

Associez.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{1 i}{- 8 i i}$

Étape 2.3.2

Multipliez $i$ par $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i i}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.3.1

Ajoutez des parenthèses.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i i)}$

Étape 2.3.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 i^{2}}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{- 8 \cdot - 1}$

Étape 2.4

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

${(e^{i x} + e^{- i x})}^{3} = \frac{i}{8}$