Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $11 - 3 x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 11$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 11$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 11$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{11}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 1.2.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.4.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.2.4.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.2.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.2.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Étape 1.2.4.4.2

Multipliez $11$ par $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $\frac{\sqrt{33}}{3}$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $11$ et $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 11$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $0$ de $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Étape 4.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Étape 4.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Étape 4.7

Appliquez la règle de la constante.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Étape 4.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.8.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Étape 4.8.2

Évaluez $11 x$ sur $1$ et sur $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3

Simplifiez

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Étape 4.8.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 4.8.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.5

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.6

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.7

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.8.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.7.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.8

Multipliez $11$ par $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Étape 4.8.3.9

Multipliez $- 11$ par $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Étape 4.8.3.10

Additionnez $11$ et $0$ .

$- 1 + 11$

Étape 4.8.3.11

Additionnez $- 1$ et $11$ .

$10$

Étape 5