Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

Étape 1

Déterminez la dérivée de la fonction. Pour déterminer la pente de l’équation tangente à la droite, évaluez la dérivée sur la valeur souhaitée de $x$ .

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 0$

Étape 5.2

Additionnez $12 x^{2} - 14 x$ et $0$ .

$12 x^{2} - 14 x$

Étape 6

La dérivée de l’équation en termes de $y$ peut également être représentée sous la forme $f' (x)$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

Étape 7

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

Étape 8.2

Multipliez $12$ par $16$ .

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

Étape 8.3

Multipliez $- 14$ par $4$ .

$f' (4) = 192 - 56$

Étape 9

Soustrayez $56$ de $192$ .

$f' (4) = 136$

Étape 10

La dérivée sur $(4, 140)$ est $136$ .

$136$