Calcul infinitésimal Exemples

f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}

$f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans

\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}

$\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$ égal à

0

$0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0

$5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans

5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ par

5

$5$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans

5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ par

5

$5$ .

\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

5

$5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez

\cos (\frac{x}{2})

$\cos (\frac{x}{2})$ par

1

$1$ .

\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du cosinus.

\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Évaluez

\arccos (- \frac{1}{5})

$\arccos (- \frac{1}{5})$ .

\frac{x}{2} = 1.77215424

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

\frac{x}{2} = 1.77215424

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par

2

$2$ .

2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

x = 2 \cdot 1.77215424

$x = 2 \cdot 1.77215424$

x = 2 \cdot 1.77215424

$x = 2 \cdot 1.77215424$

x = 2 \cdot 1.77215424

$x = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Multipliez

2

$2$ par

1.77215424

$1.77215424$ .

x = 3.54430849

$x = 3.54430849$

x = 3.54430849

$x = 3.54430849$

x = 3.54430849

$x = 3.54430849$

Étape 2.7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424

$\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

Étape 2.8

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par

2

$2$ .

2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez

2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)

$2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

3.14159265

$3.14159265$ .

x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)

$x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.2.1.2

Soustrayez

1.77215424

$1.77215424$ de

6.2831853

$6.2831853$ .

x = 2 \cdot 4.51103105

$x = 2 \cdot 4.51103105$

Étape 2.8.2.2.1.3

Multipliez

2

$2$ par

4.51103105

$4.51103105$ .

x = 9.02206211

$x = 9.02206211$

x = 9.02206211

$x = 9.02206211$

x = 9.02206211

$x = 9.02206211$

x = 9.02206211

$x = 9.02206211$

x = 9.02206211

$x = 9.02206211$

Étape 2.9

Déterminez la période de

\cos (\frac{x}{2})

$\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez

b

$b$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 2.9.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est d’environ

0.5

$0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

\frac{2 π}{\frac{1}{2}}

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

2 π \cdot 2

$2 π \cdot 2$

Étape 2.9.5

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

4 π

$4 π$

4 π

$4 π$

Étape 2.10

La période de la fonction

\cos (\frac{x}{2})

$\cos (\frac{x}{2})$ est

4 π

$4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

4 π

$4 π$ radians dans les deux sens.

x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à

0

$0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à

0

$0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à

0

$0$ .

{x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}

${x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}$

n

$n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 4