Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ par $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

Étape 2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

Évaluez $\arccos (- \frac{1}{5})$ .

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 1.77215424$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $2$ par $1.77215424$ .

$x = 3.54430849$

Étape 2.7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez $2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)$

Étape 2.8.2.2.1.2

Soustrayez $1.77215424$ de $6.2831853$ .

$x = 2 \cdot 4.51103105$

Étape 2.8.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $4.51103105$ .

$x = 9.02206211$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 2.9.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 2.9.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 2.10

La période de la fonction $\cos (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4