Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Étape 2.2

Réécrivez $\ln (\ln (x)) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (x) = e^{0}$ .

$\ln (x) = e^{0}$

Étape 2.3.2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\ln (x) = e^{0}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Étape 2.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{e^{0}}$ .

$x = e^{e^{0}}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez $e^{e^{0}}$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = e^{1}$

Étape 2.3.4.2.2

Simplifiez

$x = e$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 4

Définissez l’argument dans $\ln (\ln (x))$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\ln (x) \leq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez l’équation.

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Étape 5.2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Étape 5.2.2

Réécrivez $\ln (x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Étape 5.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Étape 5.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\ln (x)$ .

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Étape 5.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 5.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 5.4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 5.5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.5.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (- 2) \leq 0$

Étape 5.5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 5.5.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (0.5) \leq 0$

Étape 5.5.2.3

Le côté gauche $- 0.69314718$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.5.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\ln (4) \leq 0$

Étape 5.5.3.3

Le côté gauche $1.38629436$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 5.6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 1$

Étape 6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Étape 7