Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\tan^{2} (x))$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (\tan^{2} (x))$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\tan^{2} (x) \leq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{\tan^{2} (x)} \leq \sqrt{0}$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| \tan (x) | \leq | 0 |$

Étape 2.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| \tan (x) | \leq 0$

Étape 2.3

Écrivez $| \tan (x) | \leq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\tan (x) \geq 0$

Étape 2.3.2

Dans la partie où $\tan (x)$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\tan (x) \leq 0$

Étape 2.3.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\tan (x) < 0$

Étape 2.3.4

Dans la partie où $\tan (x)$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- \tan (x) \leq 0$

Étape 2.3.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \tan (x) \leq 0 & \tan (x) \geq 0 \\ - \tan (x) \leq 0 & \tan (x) < 0 \end{cases}$

Étape 2.4

Déterminez l’intersection de $\tan (x) \leq 0$ et $\tan (x) \geq 0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 2.5

Résolvez $- \tan (x) \leq 0$ quand $\tan (x) < 0$ .

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) \leq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) \leq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) \geq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\tan (x) \geq 0$

Étape 2.5.2

Déterminez l’intersection de $\tan (x) \geq 0$ et $\tan (x) < 0$ .

Aucune solution

Étape 2.6

Déterminez l’union des solutions.

$\tan (x) = 0$

Étape 2.7

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 2.8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.9

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 2.10

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 2.11

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.11.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.11.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.11.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.11.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.12

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.13

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.14

Déterminez le domaine de $\tan^{2} (x)$ .

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Étape 2.14.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.14.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.15

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Étape 2.16

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.16.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.16.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 2.16.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan^{2} (1) \leq 0$

Étape 2.16.1.3

Le côté gauche $2.42551882$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.16.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.16.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.16.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan^{2} (2) \leq 0$

Étape 2.16.2.3

Le côté gauche $4.7743992$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.16.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

$0 < x < \frac{π}{2}$ Faux

$\frac{π}{2} < x < π$ Faux

Étape 2.17

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 5