Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $2$ par $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 1.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 1.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

Étape 1.2.2.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ et $y = \sqrt{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 2.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 2.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

Étape 2.4.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 2}$

Étape 2.4.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$2^{3}$

Étape 2.4.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $8$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

Étape 3.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

Étape 3.3.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

Étape 3.3.1.5

Associez $4$ et $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

Étape 3.3.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

Étape 3.3.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.3.2

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.3.4

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 π$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.8

Réécrivez $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ comme $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Étape 3.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4