Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$ , $x = \frac{1}{11}$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{1}{11}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{1}{11}$ .

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 (- 1) \frac{1}{11}}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 \cdot - 1 \frac{1}{11}}$

Étape 1.2.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 1.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.3.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.2.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 1.2.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1}{11} \cdot 1$

Étape 1.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{11}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{11}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{1}{11}$ et $y = \frac{1}{11}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $2 - 11 x$ par $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 x$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.9.2

Additionnez $- 11 x$ et $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.9.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Étape 2.2.9.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{1}{11}$ .

$\frac{2}{{(- 11 (\frac{1}{11}) + 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Factorisez $11$ à partir de $- 11$ .

$\frac{2}{{(11 (- 1) \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Étape 2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{{(11 \cdot - 1 \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Étape 2.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{{(- 1 + 2)}^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Étape 2.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{1}$

Étape 2.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{11}, \frac{1}{11})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{11}) = 2 \cdot (x - (\frac{1}{11}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - \frac{1}{11})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{11} = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{11} = 2 x + 2 (- \frac{1}{11})$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2 (- \frac{1}{11})$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x - 2 (\frac{1}{11})$

Étape 3.3.1.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{11}$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x + \frac{- 2}{11}$

Étape 3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{1}{11} = 2 x - \frac{2}{11}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{11}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - \frac{2}{11} + \frac{1}{11}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 x + \frac{- 2 + 1}{11}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$y = 2 x + \frac{- 1}{11}$

Étape 3.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 x - \frac{1}{11}$

Étape 4