Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{3}$ , $x = - 1$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = 3 {(- 1)}^{3}$

Étape 1.2

Simplifiez $3 {(- 1)}^{3}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = 3 \cdot - 1$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$9 {(- 1)}^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot 1$

Étape 2.5.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $9$ et un point donné, tel que $(- 1, - 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 9 \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 3 = 9 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $9 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 3 = 0 + 0 + 9 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 3 = 9 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = 9 x + 9 \cdot 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$y + 3 = 9 x + 9$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = 9 x + 9 - 3$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$y = 9 x + 6$

Étape 4