Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 17 x^{2} + 16$ , $x = - 2$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 2$ .

$y = {(- 2)}^{4} - 17 {(- 2)}^{2} + 16$

Étape 1.2

Simplifiez ${(- 2)}^{4} - 17 {(- 2)}^{2} + 16$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$y = 16 - 17 {(- 2)}^{2} + 16$

Étape 1.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = 16 - 17 \cdot 4 + 16$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $- 17$ par $4$ .

$y = 16 - 68 + 16$

Étape 1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $68$ de $16$ .

$y = - 52 + 16$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $- 52$ et $16$ .

$y = - 36$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - 36$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 17 x^{2} + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 17 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 17 (2 x) + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 17$ .

$4 x^{3} - 34 x + \frac{d}{d x} [16]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 34 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 34 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 34 x$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 34 \cdot - 2$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 8 - 34 \cdot - 2$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$- 32 - 34 \cdot - 2$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 34$ par $- 2$ .

$- 32 + 68$

Étape 2.5.2

Additionnez $- 32$ et $68$ .

$36$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $36$ et un point donné, tel que $(- 2, - 36)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 36) = 36 \cdot (x - (- 2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 36 = 36 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $36 \cdot (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 36 = 0 + 0 + 36 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 36 = 36 \cdot (x + 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 36 = 36 x + 36 \cdot 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $36$ par $2$ .

$y + 36 = 36 x + 72$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$y = 36 x + 72 - 36$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $36$ de $72$ .

$y = 36 x + 36$

Étape 4