Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Étape 1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Étape 1.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = 1 - 1$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{1} + 1$

Étape 2.5.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $3$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez $3 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Étape 4