Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 0.5 x^{2} - 2 x - 4$ , $x = 3$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 1.2.3

Simplifiez $0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = 0.5 \cdot 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $0.5$ par $9$ .

$y = 4.5 - 2 \cdot 3 - 4$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y = 4.5 - 6 - 4$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $6$ de $4.5$ .

$y = - 1.5 - 4$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $- 1.5$ .

$y = - 5.5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = - 5.5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.5 x^{2} - 2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x - 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x - 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $x - 2$ et $0$ .

$x - 2$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$(3) - 2$

Étape 2.6

Soustrayez $2$ de $3$ .

$1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(3, - 5.5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5.5) = 1 \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 5.5 = 1 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$y + 5.5 = x - 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $5.5$ des deux côtés de l’équation.

$y = x - 3 - 5.5$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $5.5$ de $- 3$ .

$y = x - 8.5$

Étape 4