Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $2 (4) + \frac{5}{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = 8 + \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2.3

Associez $8$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 1.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

Étape 1.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.5.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$y = \frac{32 + 5}{4}$

Étape 1.2.2.5.2

Additionnez $32$ et $5$ .

$y = \frac{37}{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{37}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 + 5 (- x^{- 2})$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 - 5 x^{- 2}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{5}{16} + 2$

Étape 2.7.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

Étape 2.7.3

Associez $2$ et $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Étape 2.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

Étape 2.7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.5.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{- 5 + 32}{16}$

Étape 2.7.5.2

Additionnez $- 5$ et $32$ .

$\frac{27}{16}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{27}{16}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{37}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{27}{16}$ et $x$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Associez $\frac{27}{4}$ et $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.7.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

Étape 3.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{37}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

Étape 3.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $- 27$ et $37$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

Étape 3.3.2.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 3.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

Étape 3.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

Étape 4