Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.2.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$y = \frac{5}{28 + 4}$

Étape 1.2.2.2.2

Additionnez $28$ et $4$ .

$y = \frac{5}{32}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{5}{32}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x - 3$ et $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $7 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.12.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.2.12.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 7$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 7$ par $- 3$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Associez les termes opposés dans $14 x + 8 - 14 x + 21$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $14 x$ de $14 x$ .

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $8$ et $21$ .

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Additionnez $28$ et $4$ .

$\frac{29}{32^{2}}$

Étape 2.5.3

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$\frac{29}{1024}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{29}{1024}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{5}{32})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{29}{1024}$ et $x$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $1024$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Associez $\frac{29}{256}$ et $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

Étape 3.3.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.7.1

Multipliez $29$ par $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

Étape 3.3.1.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $\frac{5}{32}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $\frac{5}{32}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $256$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{32}$ par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $32$ par $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 29$ et $40$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

Étape 4