Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 x - 4}{4 x - 3}$ , $x = 1$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = \frac{3 - 4}{4 (1) - 3}$

Étape 1.2.2.1.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$y = \frac{- 1}{4 (1) - 3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{4 - 3}$

Étape 1.2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$y = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.2.2.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y = - 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{(4 x - 3) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $4 x - 3$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 3) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.2.12.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{12 x - 9 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Associez les termes opposés dans $12 x - 9 - 12 x + 16$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $12 x$ de $12 x$ .

$\frac{0 - 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$\frac{- 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.3.3.3

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$\frac{7}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{7}{{(4 (1) - 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{7}{{(4 - 3)}^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{7}{1^{2}}$

Étape 2.5.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{7}{1}$

Étape 2.5.2

Divisez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $7$ et un point donné, tel que $(1, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 7 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $7 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y + 1 = 7 x - 7$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = 7 x - 7 - 1$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1$ de $- 7$ .

$y = 7 x - 8$

Étape 4