Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{2 x - 3}$ , $x = 6$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $6$ .

$y = \sqrt{2 (6) - 3}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{2 (6) - 3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = \sqrt{12 - 3}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$y = \sqrt{9}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 6$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 3}$ comme ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.7.3

Placez ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Étape 2.13

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Étape 2.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = 6$ .

$\frac{1}{{(2 (6) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{1}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.2

Soustrayez $3$ de $12$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.15.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3^{1}}$

Étape 2.15.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(6, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{3} \cdot (x - (6))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - 6)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = \frac{1}{3} \cdot (x - 6)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 6$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 3 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = \frac{x}{3} - 2$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} - 2 + 3$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$y = \frac{x}{3} + 1$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + 1$

Étape 4