Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{4} (125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{125 {(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{125 {(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{5})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{5})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{5})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = \frac{1}{5}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $(125) {(\frac{1}{5})}^{n - 1}$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 125 {(\frac{1}{5})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$a = 125 \frac{1^{0}}{5^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 125 \frac{1}{5^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$a = 125 (\frac{1}{1})$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$a = 125 \cdot 1$

Étape 3.2.6

Multipliez $125$ par $1$ .

$a = 125$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$125 \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}}$ par $\frac{5}{5}$ .

$125 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{5})}^{4}}{1 - \frac{1}{5}})$

Étape 5.1.2

Associez.

$125 \frac{5 (1 - {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 (1 - \frac{1}{5})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{1}{5})}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 1}{5})}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$125 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$125 \frac{5 + 5 (- {(\frac{1}{5})}^{4})}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$125 \frac{5 + 5 (- \frac{1^{4}}{5^{4}})}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{4}}{5^{4}}$ dans le numérateur.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5^{4}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $5$ à partir de $5^{4}$ .

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$125 \frac{5 + 5 \frac{- 1^{4}}{5 \cdot 5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$125 \frac{5 + \frac{- 1^{4}}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{5^{3}}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$125 \frac{5 + \frac{- 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$125 \frac{5 - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.8

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{5 \cdot \frac{125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.9

Associez $5$ et $\frac{125}{125}$ .

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$125 \frac{\frac{5 \cdot 125 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.11.1

Multipliez $5$ par $125$ .

$125 \frac{\frac{625 - 1}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.4.11.2

Soustrayez $1$ de $625$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{5 - 1}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$125 \frac{\frac{624}{125}}{4}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$125 (\frac{624}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $4$ à partir de $624$ .

$125 (\frac{4 (156)}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.7.2

Annulez le facteur commun.

$125 (\frac{4 \cdot 156}{125} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 5.7.3

Réécrivez l’expression.

$125 (\frac{156}{125})$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 5.8.1

Annulez le facteur commun.

$125 (\frac{156}{125})$

Étape 5.8.2

Réécrivez l’expression.

$156$