Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 2}^{24} 5 i^{2} + 8$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 2}^{24} 5 i^{2} + 8 = \sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 - \sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 = 5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} + \sum_{k = 1}^{24} 8$

Étape 2.2

Évaluez $5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(5) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Additionnez $24$ et $1$ .

$5 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $24$ par $25$ .

$5 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$5 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.3

Additionnez $48$ et $1$ .

$5 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $600$ par $49$ .

$5 (\frac{29400}{6})$

Étape 2.2.3.2.2

Divisez $29400$ par $6$ .

$5 \cdot 4900$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $5$ par $4900$ .

$24500$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{24} 8$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(8) (24)$

Étape 2.3.3

Multipliez $8$ par $24$ .

$192$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$24500 + 192$

Étape 2.5

Additionnez $24500$ et $192$ .

$24692$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$5 \cdot 1^{2} + 8$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$5 \cdot 1 + 8$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + 8$

Étape 3.2.3

Additionnez $5$ et $8$ .

$13$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$24692 - 13$

Étape 5

Soustrayez $13$ de $24692$ .

$24679$