Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 4}^{7} 3^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{3^{i + 1}}{3^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à $3^{i + 1}$ et $3^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3^{i}$ à partir de $3^{i + 1}$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{3}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$r = 3$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $4$ dans $3^{i}$ .

$a = 3^{4}$

Étape 3.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$a = 81$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$81 \frac{1 - 3^{4}}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 \frac{1 - 1 \cdot 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$81 \frac{1 - 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $81$ de $1$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 3}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$81 (\frac{- 80}{- 2})$

Étape 5.3

Divisez $- 80$ par $- 2$ .

$81 \cdot 40$

Étape 5.4

Multipliez $81$ par $40$ .

$3240$