Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (8)$

Étape 2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 3

Évaluez $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $- 1$ dans l’addition.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Étape 3.2

Développez la série pour chaque valeur de $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Étape 3.3

Simplifiez la forme développée.

$- \frac{8371}{280}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $36$ par $17$ .

$\frac{612}{3}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $612$ par $3$ .

$204$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.1.1

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Étape 6.1.2

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Étape 6.1.3

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Étape 6.1.4

Écrivez $204$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Étape 6.1.5

Multipliez $\frac{204}{1}$ par $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Étape 6.1.6

Multipliez $\frac{204}{1}$ par $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $8$ par $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Étape 6.3.2

Multipliez $204$ par $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Étape 6.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $8371$ de $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Étape 6.4.2

Additionnez $- 6131$ et $57120$ .

$\frac{50989}{280}$