Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $2^{i + 1 - 1}$ et $2^{i - 1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2^{i - 1}$ à partir de $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Étape 2.2.1.2.4

Divisez $2^{i + 0 - (i - 1)}$ par $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Étape 2.2.2

Additionnez $i$ et $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $i$ de $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = 2^{1}$

Étape 2.2.6

Évaluez l’exposant.

$r = 2$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $1$ dans $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 2^{0}$

Étape 3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 1$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ par $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Élevez $2$ à la puissance $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $2048$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Étape 5.4

Divisez $- 2047$ par $- 1$ .

$2047$