Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

Étape 2.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

Étape 2.2.3.2.4

Additionnez $18$ et $1$ .

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.3.1

Multipliez $30$ par $19$ .

$\frac{570}{2}$

Étape 2.2.3.3.2

Divisez $570$ par $2$ .

$285$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{9} 1$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (9)$

Étape 2.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$9$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$285 + 9$

Étape 2.5

Additionnez $285$ et $9$ .

$294$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 2^{2} + 1$

Étape 3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 + 4 + 1$

Étape 3.2.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$2 + 5$

Étape 3.2.5

Additionnez $2$ et $5$ .

$7$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$294 - 7$

Étape 5

Soustrayez $7$ de $294$ .

$287$