Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{\infty} 12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique infinie peut être déterminée en utilisant la formule $\frac{a}{1 - r}$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ et ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ à partir de ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{1}$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$r = - \frac{1}{9}$

Étape 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Étape 4

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 4.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{1 - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{0}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{9})}^{0})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Étape 4.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 12 (1 \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{1^{0}}{9^{0}}$ par $1$ .

$a = 12 \frac{1^{0}}{9^{0}}$

Étape 4.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 12 \frac{1}{9^{0}}$

Étape 4.2.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$a = 12 \cdot 1$

Étape 4.2.8

Multipliez $12$ par $1$ .

$a = 12$

Étape 5

Remplacez les valeurs du rapport et du premier terme dans la formule de l’addition.

$\frac{12}{1 - - \frac{1}{9}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- - \frac{1}{9}$ .

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Étape 6.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{12}{1 + 1 (\frac{1}{9})}$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $1$ .

$\frac{12}{1 + \frac{1}{9}}$

Étape 6.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{12}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Étape 6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12}{\frac{9 + 1}{9}}$

Étape 6.1.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{12}{\frac{10}{9}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$12 (\frac{9}{10})$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$2 (6) \frac{9}{10}$

Étape 6.3.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{9}{5})$

Étape 6.4

Associez $6$ et $\frac{9}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 9}{5}$

Étape 6.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{54}{5}$