Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{2}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $12 x^{2} + 30 x + 10$ et $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Étape 3.2

Multipliez $12$ par $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Étape 3.3

Multipliez $30$ par $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1

Additionnez $300$ et $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Étape 4.2

Additionnez $450$ et $10$ .

$f'' (5) = 460$