Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 27}$ comme ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.7.3

Placez ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 27$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Étape 1.10

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.2

Additionnez $9$ et $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Étape 3.6

Évaluez l’exposant.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (3) = \frac{1}{2}$