Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = 5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ , $x = 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} {(9 x + 7)}^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x + 7)}^{4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 7)}^{4}] + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 9 x + 7$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x + 7$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x + 7]) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + \frac{d}{d x} [7])) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} (9 + 0)) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.6.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$5 (x^{2} (4 {(9 x + 7)}^{3} \cdot 9) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.6.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + {(9 x + 7)}^{4} (2 x))$

Étape 1.4.8

Déplacez $2$ à gauche de ${(9 x + 7)}^{4}$ .

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3}) + 2 \cdot {(9 x + 7)}^{4} x)$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} (36 {(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Étape 1.5.2

Multipliez $36$ par $5$ .

$180 (x^{2} ({(9 x + 7)}^{3})) + 5 (2 {(9 x + 7)}^{4} x)$

Étape 1.5.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 ({(9 x + 7)}^{4} x)$

Étape 1.5.4

Factorisez $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ à partir de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3} + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

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Étape 1.5.4.1

Factorisez $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ à partir de $180 x^{2} {(9 x + 7)}^{3}$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 {(9 x + 7)}^{4} x$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ à partir de $10 {(9 x + 7)}^{4} x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$

Étape 1.5.4.3

Factorisez $10 x {(9 x + 7)}^{3}$ à partir de $10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x) + 10 x {(9 x + 7)}^{3} (9 x + 7)$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (18 x + 9 x + 7)$

Étape 1.5.5

Additionnez $18 x$ et $9 x$ .

$10 x {(9 x + 7)}^{3} (27 x + 7)$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$h' (4) = 10 (4) {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Étape 3

Multipliez $10$ par $4$ .

$h' (4) = 40 {(9 (4) + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Étape 4

Multipliez $9$ par $4$ .

$h' (4) = 40 {(36 + 7)}^{3} (27 (4) + 7)$

Étape 5

Additionnez $36$ et $7$ .

$h' (4) = 40 \cdot (43^{3} (27 (4) + 7))$

Étape 6

Élevez $43$ à la puissance $3$ .

$h' (4) = 40 \cdot (79507 (27 (4) + 7))$

Étape 7

Multipliez $40$ par $79507$ .

$h' (4) = 3180280 (27 (4) + 7)$

Étape 8

Multipliez $27$ par $4$ .

$h' (4) = 3180280 (108 + 7)$

Étape 9

Additionnez $108$ et $7$ .

$h' (4) = 3180280 \cdot 115$

Étape 10

Multipliez $3180280$ par $115$ .

$h' (4) = 365732200$