Calcul infinitésimal Exemples

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Comme $2^{\frac{2}{3}}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $r$ est $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.10

Associez $2^{\frac{2}{3}}$ et $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.11

Multipliez $2^{\frac{2}{3}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.11.1

Déplacez $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.11.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 1.11.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.11.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.11.5

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.12

Placez $r^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Remplacez la variable $r$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$