Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Étape 1.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 3 x + 3$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Étape 1.2.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

Étape 1.2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

Étape 1.2.9

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

Étape 1.2.10

Additionnez $2 x - 3$ et $0$ .

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Étape 1.2.11

Associez $3$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

Étape 1.2.12

Associez ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ et $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Étape 1.2.13

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Étape 1.2.14

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ et ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

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Étape 1.2.14.1

Factorisez ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ à partir de $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

Étape 1.2.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.14.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ .

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Étape 1.2.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

Étape 1.2.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ de $0$ .

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ .

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 2 x + 3$ par $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ .

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $- 2 x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.9

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.11

Réécrivez $- (2 x - 3)$ comme $- 1 (2 x - 3)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

Étape 2

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

Étape 4.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

Étape 4.3

Soustrayez $6$ de $4$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

Étape 4.4

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

Étape 5.2

Divisez $3$ par $1$ .

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (2) = - 3$