Calcul infinitésimal Exemples

$t - \sqrt[3]{t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - \sqrt[3]{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \sqrt[3]{t}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t}$ comme $t^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 1.1.2.7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 1.1.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}})$

Étape 1.1.2.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 1.1.2.10

Placez $t^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = 1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 t^{\frac{2}{3}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 t^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ par $3 t^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} = - 1$ par $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3 t^{\frac{2}{3}}} (3 t^{\frac{2}{3}}) = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - (3 t^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 1 = - 3 t^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 t^{\frac{2}{3}} = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 t^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $t^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$t^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$t^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$t^{1} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$t = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Simplifiez $\pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$t = \pm \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$t = \pm \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$1 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{t^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $t$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{t^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{t^{2}}$ comme $t^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 t^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(t^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 t^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 t^{2} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 t^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $t$ .

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 t^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 t^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 t^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2.1.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$t^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 0$

Étape 3.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 4

Évaluez $t - \sqrt[3]{t}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $t = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $t$ par $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez $3^{\frac{3}{2}}$ comme ${(3^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez $\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ comme ${(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Étape 4.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{1}{2}}$ par $3^{\frac{2}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1 - 3^{1}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.5.4

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $t = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $t$ par $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + 1 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{3}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{1}{2}}$ par $3^{\frac{2}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- 1 + 3^{1}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.5.2

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2.2.5.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.3

Évaluez sur $t = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $t$ par $0$ .

$(0) - \sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 - \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0 - 0$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}), (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}), (0, 0)$

Étape 5