Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{12 e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$12 lim_{x \to \infty} \frac{e^{- 2 x}}{{(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$12 \frac{lim_{x \to \infty} e^{- 2 x}}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.2

Comme l’exposant $- 2 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 2 x}$ approche de $0$ .

$12 \frac{0}{lim_{x \to \infty} {(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$12 \frac{0}{{(1 + lim_{x \to \infty} 3 e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$12 \frac{0}{{(1 + 3 lim_{x \to \infty} e^{- 2 x})}^{2}}$

Étape 3.4

Comme l’exposant $- 2 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 2 x}$ approche de $0$ .

$12 \frac{0}{{(1 + 3 \cdot 0)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$12 \frac{0}{{(1 + 0)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$12 \frac{0}{1^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 (\frac{0}{1})$

Étape 3.5.2

Divisez $0$ par $1$ .

$12 \cdot 0$

Étape 3.5.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Aucune asymptote oblique

Étape 7