Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Étape 3.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ comme $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ .

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

Étape 3.2.2

Développez $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ en déplaçant $e^{- x}$ hors du logarithme.

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Étape 3.3

Placez la limite dans l’exposant.

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Étape 3.4

Réécrivez $e^{- x} \ln (x - 0.086)$ comme $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

Étape 3.5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Étape 3.5.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Étape 3.5.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.5.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 0.086$ .

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Étape 3.5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 0.086$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.5

Comme $- 0.086$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.086$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.7

Multipliez $\frac{1}{x - 0.086}$ par $1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Étape 3.5.3.8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

Étape 3.5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

Étape 3.5.5

Multipliez $\frac{1}{x - 0.086}$ par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

Étape 3.5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

Étape 3.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ approche de $0$ .

$- e^{0}$

Étape 3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.7.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 3.7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = - 1$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = - 1$

Aucune asymptote oblique

Étape 7