Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 8$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $2 x^{2} + 12 x - 8$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 2$

$b = 12$

$c = - 8$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (2)}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{2}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{1}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$d = 3$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e = - 8 - \frac{144}{8}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $144$ par $8$ .

$e = - 8 - 1 \cdot 18$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$e = - 8 - 18$

Étape 1.1.1.4.2.2

Soustrayez $18$ de $- 8$ .

$e = - 26$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $2 {(x + 3)}^{2} - 26$ .

$2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 2 {(x + 3)}^{2} - 26$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 2$

$h = - 3$

$k = - 26$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 3, - 26)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 3, - \frac{207}{8})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 3$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{209}{8}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, - 26)$

Foyer : $(- 3, - \frac{207}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{209}{8}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, - 26)$

Foyer : $(- 3, - \frac{207}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{209}{8}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) - 8$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 12 (- 4) - 8$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f (- 4) = 32 + 12 (- 4) - 8$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 48 - 8$

Étape 2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $48$ de $32$ .

$f (- 4) = - 16 - 8$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 16$ .

$f (- 4) = - 24$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 4$ est $- 24$ .

$y = - 24$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{2} + 12 (- 5) - 8$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = 2 \cdot 25 + 12 (- 5) - 8$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$f (- 5) = 50 + 12 (- 5) - 8$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $12$ par $- 5$ .

$f (- 5) = 50 - 60 - 8$

Étape 2.5.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $60$ de $50$ .

$f (- 5) = - 10 - 8$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $8$ de $- 10$ .

$f (- 5) = - 18$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 5$ est $- 18$ .

$y = - 18$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) - 8$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 + 12 (- 2) - 8$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 (- 2) - 8$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $12$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 8 - 24 - 8$

Étape 2.8.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $24$ de $8$ .

$f (- 2) = - 16 - 8$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $8$ de $- 16$ .

$f (- 2) = - 24$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $- 24$ .

$- 24$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 24$ .

$y = - 24$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1) - 8$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 12 (- 1) - 8$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 1) = 2 + 12 (- 1) - 8$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 12 - 8$

Étape 2.11.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.11.2.1

Soustrayez $12$ de $2$ .

$f (- 1) = - 10 - 8$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $8$ de $- 10$ .

$f (- 1) = - 18$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 18$ .

$- 18$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 18$ .

$y = - 18$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- 3, - 26)$

Foyer : $(- 3, - \frac{207}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 3$

Directrice : $y = - \frac{209}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 18 \\ - 4 & - 24 \\ - 3 & - 26 \\ - 2 & - 24 \\ - 1 & - 18 \end{array}$

Étape 4