Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$x^{2} + 16 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 16$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 4$

Étape 1.2.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4 i$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4 i$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4 i, - 4 i$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = 4 i, x = - 4 i$ .

Asymptote verticale : $x = 4 i, x = - 4 i$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 16)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (1 + 16)$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $16$ .

$f (1) = \ln (17)$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Étape 2.3

Convertissez $\ln (17)$ en décimale.

$y = 2.83321334$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 16)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 16)$

Étape 3.2.2

Additionnez $4$ et $16$ .

$f (2) = \ln (20)$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\ln (20)$ .

$\ln (20)$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (20)$ en décimale.

$y = 2.99573227$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 16)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 16)$

Étape 4.2.2

Additionnez $9$ et $16$ .

$f (3) = \ln (25)$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (25)$ en décimale.

$y = 3.21887582$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 4 i, x = - 4 i$ et les points $(1, 2.83321334), (2, 2.99573227), (3, 3.21887582)$ .

Asymptote verticale : $x = 4 i, x = - 4 i$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.833 \\ 2 & 2.996 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Étape 6