Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \csc (\frac{π x}{2})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \csc (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \csc (\frac{π x}{2})$ . Définissez l’intérieur de la fonction cosécante, $b x + c$ , pour $y = a \csc (b x + c) + d$ égal à $0$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = \csc (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{π x}{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π x = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction cosécante $\frac{π x}{2}$ égal à $2 π$ .

$\frac{π x}{2} = 2 π$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.4.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} (2 π)$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} (2 π)$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 2)$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \cdot 2$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4$

Étape 1.5

La période de base pour $y = \csc (\frac{π x}{2})$ se produit sur $(0, 4)$ , où $0$ et $4$ sont des asymptotes verticales.

$(0, 4)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.6.3.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 1.6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = \csc (\frac{π x}{2})$ se produisent sur $0$ , $4$ et chaque $2 n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = 2 n$

Étape 1.8

La cosécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = 2 n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = 2 n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \csc (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 1$

$b = \frac{π}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $c s c$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période de $\csc (\frac{π x}{2})$ .

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Étape 4.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Étape 4.3

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{π}{2}}$

Étape 5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{2}{π})$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $\frac{2}{π}$ .

Déphasage : $0$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $4$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = 2 n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $4$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 8