Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- x^{2} - 3}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $- \frac{x^{2} + 3}{x + 1}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 3}{x + 1}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (3)}{x + 1}$

Étape 5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez $- (x^{2} + 3)$ comme $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Étape 5.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 3}{x + 1}$

Étape 5.2

Développez $- (x^{2} + 3)$ .

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Étape 5.2.1

Inversez $x^{2} + 3$ .

$\frac{- (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot 3}{x + 1}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3}{x + 1}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - x$

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					+	$x$	+	$1$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					-	$x$	-	$1$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					-	$x$	-	$1$
							-	$4$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- x + 1 - \frac{4}{x + 1}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - x + 1$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - x + 1$

Étape 7