Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{5} {(2 i - 1)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 i - 1)}^{2}$ comme $(2 i - 1) (2 i - 1)$ .

$(2 i - 1) (2 i - 1)$

Étape 1.2

Développez $(2 i - 1) (2 i - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i - 1) - 1 (2 i - 1)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i - 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 i \cdot i + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 i^{2} - 2 i - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i - 1 \cdot - 1$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i + 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $2 i$ de $- 2 i$ .

$4 i^{2} - 4 i + 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{5} 4 i^{2} - 4 i + 1$

Étape 2

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 + 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 + \dots + 4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$

Étape 3

Simplifiez la forme développée.

$165$