Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période de $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 3.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 \cdot 2$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $2$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $4 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$f (0) = - \frac{\sin (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = - \frac{\sin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = - \frac{\sin (\frac{0}{1})}{2}$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$f (0) = - \frac{\sin (0)}{2}$

Étape 6.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = - \frac{0}{2}$

Étape 6.1.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = - 0$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = π$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = - \frac{\sin (\frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (π) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 2 π$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π$ dans l’expression.

$f (2 π) = - \frac{\sin (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 π) = - \frac{\sin (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (2 π) = - \frac{\sin (π)}{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (2 π) = - \frac{\sin (0)}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (2 π) = - \frac{0}{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (2 π) = - 0$

Étape 6.3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (2 π) = 0$

Étape 6.3.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = - \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (3 π) = - \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 π) = - \frac{- 1}{2}$

Étape 6.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (3 π) = \frac{1}{2}$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 4 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4 π$ dans l’expression.

$f (4 π) = - \frac{\sin (\frac{4 π}{2})}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$f (4 π) = - \frac{\sin (\frac{2 (2 π)}{2})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (4 π) = - \frac{\sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 π) = - \frac{\sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 π) = - \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (4 π) = - \frac{\sin (2 π)}{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (4 π) = - \frac{\sin (0)}{2}$

Étape 6.5.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (4 π) = - \frac{0}{2}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (4 π) = - 0$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (4 π) = 0$

Étape 6.5.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ π & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \\ 3 π & \frac{1}{2} \\ 4 π & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $4 π$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ π & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \\ 3 π & \frac{1}{2} \\ 4 π & 0 \end{array}$

Étape 8