Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 24 x + 15$

Étape 1

Déterminez le point sur $x = - 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 3)}^{3}$ et $3$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.1.5.4

Divisez $- 1 \cdot 3^{2}$ par $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot 3^{2}$ comme $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (- 3) = - 9 + {(- 3)}^{2} - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 - 24 \cdot - 3 + 15$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $- 24$ par $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 9 + 72 + 15$

Étape 1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.2.2.1

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$f (- 3) = 0 + 72 + 15$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $0$ et $72$ .

$f (- 3) = 72 + 15$

Étape 1.2.2.3

Additionnez $72$ et $15$ .

$f (- 3) = 87$

Étape 1.2.3

La réponse finale est $87$ .

$87$

Étape 1.3

Convertissez $87$ en décimale.

$y = 87$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3} + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Étape 2.2.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 15$

Étape 2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24 \cdot 0 + 15$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 15$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 15$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 15$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $15$ .

$f (0) = 15$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 2.3

Convertissez $15$ en décimale.

$y = 15$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Étape 3.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2 + 15$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 - 24 \cdot - 2 + 15$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 4 + 48 + 15$

Étape 3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} + 48 + 15$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 48 + 15$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 48 + 15$

Étape 3.2.2.4

Écrivez $48$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} + 15$

Étape 3.2.2.5

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Étape 3.2.2.6

Multipliez $\frac{48}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + 15$

Étape 3.2.2.7

Écrivez $15$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Étape 3.2.2.8

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.9

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- 8 + 4 \cdot 3 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 48 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $48$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 + 144 + 45}{3}$

Étape 3.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.5.1

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 144 + 45}{3}$

Étape 3.2.5.2

Additionnez $4$ et $144$ .

$f (- 2) = \frac{148 + 45}{3}$

Étape 3.2.5.3

Additionnez $148$ et $45$ .

$f (- 2) = \frac{193}{3}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $\frac{193}{3}$ .

$\frac{193}{3}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{193}{3}$ en décimale.

$y = 64.\overline{3}$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3}}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Étape 4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + {(- 1)}^{2} - 24 \cdot - 1 + 15$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot - 1 + 15$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + 1 + 24 + 15$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} + 24 + 15$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 24 + 15$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + 24 + 15$

Étape 4.2.2.4

Écrivez $24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} + 15$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $\frac{24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + 15$

Étape 4.2.2.7

Écrivez $15$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Étape 4.2.2.8

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.9

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $24$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3 + 72 + 45}{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 + 72 + 45}{3}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $2$ et $72$ .

$f (- 1) = \frac{74 + 45}{3}$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $74$ et $45$ .

$f (- 1) = \frac{119}{3}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $\frac{119}{3}$ .

$\frac{119}{3}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{119}{3}$ en décimale.

$y = 39.\overline{6}$

Étape 5

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{{(1)}^{3}}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{3} + {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 15$

Étape 5.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 \cdot 1 + 15$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + 1 - 24 + 15$

Étape 5.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - 24 + 15$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - 24 + 15$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 24 + 15$

Étape 5.2.2.4

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} + 15$

Étape 5.2.2.5

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Étape 5.2.2.6

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 15$

Étape 5.2.2.7

Écrivez $15$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{1 + 3 - 24 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (1) = \frac{1 + 3 - 72 + 45}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (1) = \frac{4 - 72 + 45}{3}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $72$ de $4$ .

$f (1) = \frac{- 68 + 45}{3}$

Étape 5.2.5.3

Additionnez $- 68$ et $45$ .

$f (1) = \frac{- 23}{3}$

Étape 5.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (1) = - \frac{23}{3}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $- \frac{23}{3}$ .

$- \frac{23}{3}$

Étape 5.3

Convertissez $- \frac{23}{3}$ en décimale.

$y = - 7.\overline{6}$

Étape 6

La fonction cubique peut être représentée graphiquement en utilisant le comportement de la fonction et les points.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Étape 7

La fonction cubique peut être représentée graphiquement en utilisant le comportement de la fonction et les points sélectionnés.

Descend vers la gauche et monte vers la droite

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 87 \\ - 2 & 64.333 \\ - 1 & 39.667 \\ 0 & 15 \\ 1 & - 7.667 \end{array}$

Étape 8