Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{2} + 5 x - 9$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $3 x^{2} + 5 x - 9$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 3$

$b = 5$

$c = - 9$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$d = \frac{5}{6}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = - 9 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$e = - 9 - \frac{25}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.2

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$e = - 9 \cdot \frac{12}{12} - \frac{25}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{12}{12}$ .

$e = \frac{- 9 \cdot 12}{12} - \frac{25}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 9 \cdot 12 - 25}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.4.2.5.1

Multipliez $- 9$ par $12$ .

$e = \frac{- 108 - 25}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.5.2

Soustrayez $25$ de $- 108$ .

$e = \frac{- 133}{12}$

Étape 1.1.1.4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{133}{12}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $3 {(x + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{133}{12}$ .

$3 {(x + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{133}{12}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = 3 {(x + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{133}{12}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 3$

$h = - \frac{5}{6}$

$k = - \frac{133}{12}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{6}, - \frac{133}{12})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Étape 1.5.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{12}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{5}{6}, - 11)$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - \frac{5}{6}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{67}{6}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{5}{6}, - \frac{133}{12})$

Foyer : $(- \frac{5}{6}, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{5}{6}$

Directrice : $y = - \frac{67}{6}$

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{5}{6}, - \frac{133}{12})$

Foyer : $(- \frac{5}{6}, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{5}{6}$

Directrice : $y = - \frac{67}{6}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) - 9$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 + 5 (- 2) - 9$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (- 2) = 12 + 5 (- 2) - 9$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f (- 2) = 12 - 10 - 9$

Étape 2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $10$ de $12$ .

$f (- 2) = 2 - 9$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $9$ de $2$ .

$f (- 2) = - 7$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $- 7$ .

$- 7$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- 7$ .

$y = - 7$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3) - 9$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = 3 \cdot 9 + 5 (- 3) - 9$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (- 3) = 27 + 5 (- 3) - 9$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f (- 3) = 27 - 15 - 9$

Étape 2.5.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $15$ de $27$ .

$f (- 3) = 12 - 9$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $9$ de $12$ .

$f (- 3) = 3$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $3$ .

$y = 3$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 9$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 + 5 (0) - 9$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 5 (0) - 9$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f (0) = - 9$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $- 9$ .

$- 9$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 0$ est $- 9$ .

$y = - 9$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} + 5 (1) - 9$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 + 5 (1) - 9$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 + 5 (1) - 9$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (1) = 3 + 5 - 9$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (1) = 8 - 9$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $9$ de $8$ .

$f (1) = - 1$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 7 \\ - \frac{5}{6} & - \frac{133}{12} \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 1 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(- \frac{5}{6}, - \frac{133}{12})$

Foyer : $(- \frac{5}{6}, - 11)$

Axe de symétrie : $x = - \frac{5}{6}$

Directrice : $y = - \frac{67}{6}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 7 \\ - \frac{5}{6} & - \frac{133}{12} \\ 0 & - 9 \\ 1 & - 1 \end{array}$

Étape 4