Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 2 \cos (\frac{3}{4} x)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 2$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $2$

Étape 3

Déterminez la période de $- 2 \cos (\frac{3 x}{4})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{4} |}$

Étape 3.3

$\frac{3}{4}$ est d’environ $0.75$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3}{4}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{3}$

Étape 3.5

Multipliez $2 π \frac{4}{3}$ .

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} π$

Étape 3.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} π$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{8}{3}$ et $π$ .

$\frac{8 π}{3}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{3}{4}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{4}{3})$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $\frac{4}{3}$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $2$

Période : $\frac{8 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (0)}{4})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $3 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4})$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 (1)})$

Étape 6.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Étape 6.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Étape 6.1.2.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (3 \cdot (0))$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Étape 6.1.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (0) = - 2$

Étape 6.1.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{4})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{4})$

Étape 6.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})$

Étape 6.2.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{4})$

Étape 6.2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Étape 6.2.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{4})$

Étape 6.2.2.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{4})$

Étape 6.2.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 (π)}{4})$

Étape 6.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 2 \cdot 0$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

Étape 6.2.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{4})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Étape 6.3.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})$

Étape 6.3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{12 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})$

Étape 6.3.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})$

Étape 6.3.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Étape 6.3.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $4 π$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 6.3.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{4})$

Étape 6.3.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cos (π)$

Étape 6.3.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- \cos (0))$

Étape 6.3.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.3.2.7

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2 \cdot - 1$

Étape 6.3.2.7.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2$

Étape 6.3.2.8

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = 2 π$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π$ dans l’expression.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{4})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 π)$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{4})$

Étape 6.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Étape 6.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})$

Étape 6.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2})$

Étape 6.4.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (2 π) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot 0$

Étape 6.4.2.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (2 π) = 0$

Étape 6.4.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{8 π}{3}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{3 (\frac{8 π}{3})}{4})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{24 π}{3}}{4})$

Étape 6.5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{24 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $24 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})$

Étape 6.5.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 (1)}}{4})$

Étape 6.5.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 \cdot 1}}{4})$

Étape 6.5.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{\frac{8 π}{1}}{4})$

Étape 6.5.2.3.2

Divisez $8 π$ par $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{8 π}{4})$

Étape 6.5.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 6.5.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

Étape 6.5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Étape 6.5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

Étape 6.5.2.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cos (0)$

Étape 6.5.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2 \cdot 1$

Étape 6.5.2.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 2$

Étape 6.5.2.8

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $2$

Période : $\frac{8 π}{3}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & 2 \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 2 \end{array}$

Étape 8