Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{8 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$8 - x^{2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 8$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Étape 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{8}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Étape 1.2.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.5

Écrivez $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 2 \sqrt{2}$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7

Résolvez $- x \leq 2 \sqrt{2}$ quand $x < 0$ .

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Étape 1.2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 2 \sqrt{2}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Étape 1.2.7.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ comme $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Étape 1.2.7.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ et $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Étape 1.2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Notation d’intervalle :

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Étape 2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Étape 2.2.3

Multipliez $- (4 \cdot 2)$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Étape 2.2.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Étape 2.2.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Remplacez la variable $x$ par $2 \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 2.4.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 2.4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Étape 2.4.2.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Étape 2.4.3

Multipliez $- (4 \cdot 2)$ .

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Étape 2.4.4

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Étape 2.4.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Étape 2.4.7

Multipliez $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Étape 2.4.7.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Étape 2.4.7.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Étape 2.4.8

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $- 1.82842712$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.82842712$ dans l’expression.

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1.82842712$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Étape 4.1.2.1.3

Soustrayez $3.34314575$ de $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1.82842712$ par $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $- 0.82842712$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.82842712$ dans l’expression.

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 0.82842712$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Étape 4.2.2.1.3

Soustrayez $0.6862915$ de $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 0.82842712$ par $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $0.17157287$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(0.17157287, 0.48438771)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.17157287$ dans l’expression.

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $0.17157287$ à la puissance $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Étape 4.3.2.1.3

Soustrayez $0.02943725$ de $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $0.17157287$ par $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Étape 4.4

Remplacez la valeur $x$ $1.17157287$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(1.17157287, 3.01607027)$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1.17157287$ dans l’expression.

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.2.1.1

Élevez $1.17157287$ à la puissance $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Étape 4.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Étape 4.4.2.1.3

Soustrayez $1.372583$ de $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $1.17157287$ par $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Étape 4.4.2.3

La réponse finale est $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Étape 4.5

Remplacez la valeur $x$ $2.17157287$ dans $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(2.17157287, 3.93544563)$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2.17157287$ dans l’expression.

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.2.1.1

Élevez $2.17157287$ à la puissance $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Étape 4.5.2.1.3

Soustrayez $4.71572875$ de $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Étape 4.5.2.2

Multipliez $2.17157287$ par $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Étape 4.5.2.3

La réponse finale est $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Étape 4.6

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Étape 5