Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{t}$ comme $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 e^{t}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 e^{t}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$