Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 x - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 x - 1 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x \geq 1$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \geq 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > \frac{1}{2}}$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > \frac{1}{2}}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $\frac{1}{2}$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{1 - 1}$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{(\frac{1}{2}) \sqrt{2 (\frac{1}{2}) - 1}}{0}$

Étape 2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f (\frac{1}{2}) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(\frac{1}{2}, Undefined)$ .

$(\frac{1}{2}, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 1)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{(1) \sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $\sqrt{2 (1) - 1}$ par $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 (1) - 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{2 - 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 (1) - 1}}{1}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{2 - 1}}{1}$

Étape 4.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{1}$

Étape 4.1.2.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.4

Divisez $1$ par $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 4.1.2.5

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Dans ce cas, le point est $(2, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{(2) \sqrt{2 (2) - 1}}{2 (2) - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{4 - 1}}{2 (2) - 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{2 (2) - 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{4 - 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (2) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.3

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = \frac{x \sqrt{2 x - 1}}{2 x - 1}$ . Dans ce cas, le point est $(3, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{(3) \sqrt{2 (3) - 1}}{2 (3) - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{6 - 1}}{2 (3) - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{2 (3) - 1}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{6 - 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f (3) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.4

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(0.5, Undefined), (1, 1), (2, 1.15), (3, 1.34)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0.5 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.15 \\ 3 & 1.34 \end{array}$

Étape 5