Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - \ln (x)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $x - \ln (x)$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $x - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $x - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (1) - \ln (1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (1) = 1$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = (2) - \ln (2)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = 2 - \ln (2)$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $2 - \ln (2)$ .

$2 - \ln (2)$

Étape 3.3

Convertissez $2 - \ln (2)$ en décimale.

$y = 1.30685281$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = (3) - \ln (3)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = 3 - \ln (3)$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $3 - \ln (3)$ .

$3 - \ln (3)$

Étape 4.3

Convertissez $3 - \ln (3)$ en décimale.

$y = 1.90138771$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 1), (2, 1.30685281), (3, 1.90138771)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.307 \\ 3 & 1.901 \end{array}$

Étape 6