Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = 10 e^{\frac{1}{2} t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t$ .

$\frac{d}{d t} [10 e^{\frac{t}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $10 e^{\frac{t}{2}}$ par rapport à $t$ est $10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t}{2}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t}{2}$ .

$10 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$10 e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $10$ .

$\frac{10}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{10}{2}$ et $e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{10 e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 e^{\frac{t}{2}}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 e^{\frac{t}{2}}}{1} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2.3.2.4

Divisez $5 e^{\frac{t}{2}}$ par $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}} \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 e^{\frac{t}{2}}$