Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + x}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + x \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 1.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} - 4 \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} + 2 \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $x \geq 0$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 1, x \geq 0}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\sqrt{x^{2} + x}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3