Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour déterminer si l’expression est continue.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 9}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 9 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 9$

Étape 1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{9}$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{9}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 3 |$

Étape 1.2.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | \geq 3$

Étape 1.2.4

Écrivez $| x | \geq 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.2.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 3$

Étape 1.2.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 1.2.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 3$

Étape 1.2.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 3 & x \geq 0 \\ - x \geq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 1.2.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 3$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 3$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{3}{- 1}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x \leq - 3$

Étape 1.2.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 3$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 3, x \geq 3}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\sqrt{x^{2} - 9}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3