Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 2}}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x}{x - 2} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.3

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 2$

Étape 1.2.4

Consolidez les solutions.

$x = 0, 2$

Étape 1.2.5

Déterminez le domaine de $\frac{x}{x - 2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 1.2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Étape 1.2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{- 2}{(- 2) - 2} \geq 0$

Étape 1.2.7.1.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{(1) - 2} \geq 0$

Étape 1.2.7.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 1.2.7.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{4}{(4) - 2} \geq 0$

Étape 1.2.7.3.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 1.2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$ ou $x > 2$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 1.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 0, x > 2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0] \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 0, x > 2}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\sqrt{\frac{x}{x - 2}}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3