Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{4 x - 9}{3 x^{2} - 19 x - 14}$

Étape 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x - 9}{3 x^{2} - 19 x - 14}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x^{2} - 19 x - 14 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 14 = - 42$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 x$ .

$3 x^{2} - 19 x - 14 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez $- 19$ comme $2$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (2 - 21) x - 14 = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x - 21 x - 14 = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 2 x) - 21 x - 14 = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 2) - 7 (3 x + 2) = 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 7) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 7$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - \frac{2}{3}, 7}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 7) \cup (7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - \frac{2}{3}, 7}$

Étape 2

Comme le domaine n’est pas l’ensemble des nombres réels, $\frac{4 x - 9}{3 x^{2} - 19 x - 14}$ n’est pas continu sur l’ensemble des nombres réels.

Pas continu

Étape 3